Reguła użyteczności oczekiwanej

Gdy p jest prawdopodobieństwem uzyskania pożytku u z działania d, to użytecznością oczekiwaną tego działania, inaczej ekspektatywą E(d) jest iloczyn up. Mając do wyboru n działań (gier), racjonalnie jest wybrać to, które przynosi największą użyteczność oczekiwaną.

PRZYKŁADY

a) W jednej grze jest 15% szansy wygrania 100 zł, w drugiej takaż szansa wygrania 120 zł. Oczywiście, należy zagrać w drugiej.

b) W grze G1 jest 25% szansy wygrania 60 zł. i 75% ryzyka utraty 12 zł. (wpłaconych za prawo udziału w grze). E=(60x0.25)-(12x0.75)=15-9=6.
W grze G2 szansa wygrania 1000 zł. wynosi 15%, a ryzyko utraty 50 zł. wynosi 100%. E= 100 Korzystniejsza jest zatem gra G2.

c) Ile warto zapłacić za bilet na loterię, w kórej szansa wygrania stu tysięcy zł. wynosi 1%? Każdą cenę niższą od tysiąca zł., bo przy cenie biletu 1000 zł. mamy kalkulację: E=(100000x0,01)-(1000x1)=0.

Reguła E operuje nie tylko na liczbach wymiernych (jak w powyższych przykładach). Funkcja prawdopodobieństwa czerpie wartości ze zbioru ciągłego liczb rzeczywistych od 0 do 1. Także funkcja użyteczności ma wartości w zbiorze liczb rzeczywistych, co oznacza stosowalność do procesów decyzyjnych o charakterze analogowym (ciągłym).

PRZYKŁAD sterowania przez regułę E mózgowym procesem analogowym (ciągłym). Na wąskiej szosie kierowca postanawia wydostać się spoza ciężarówki blokującej drogę, wyprzedzając ją mimo nadjeżdżania z przeciwka innego pojazdu. Tak, zamiast "gry", w której miałby maksimum bezpieczeństwa za cenę pewnej niewygody wybiera inną. Czyni to dlatego, że prawdopodobieństwo sukcesu manewru - p(S) szacuje na bliskie jedności, co pomnożone przez użyteczność sukcesu (np. przyspieszenie podróży) u(S), po odjęciu minimalnego ryzyka katastrofy pomnożonego przez jej (oczywiście, ujemną) użyteczność daje w jego osądzie wyższą użyteczność oczekiwaną niż zachowanie ostrożniejsze.

Oszacowanie szansy manewru zależy od oszacowania odległości obu pojazdów i ich szybkości; może się zdarzyć, że mają one jako wartości liczby niewymierne. Liczby te są odwzorowane w analogowym modelu sytuacji powstałym w mózgu, a wtedy stan mózgu jest też oddawany liczbami niewymiernymi. To samo dotyczy wartościowania skutków każdego z alternatywnych działań. Do tego dochodzi oszacowanie prawdopodobieństwa skutków. Podczas gdy przy innych wielkościach występowanie liczb niewymiernych jest przedmiotem domniemania, to w przypadku prawdopodobieństwa sam model teoretyczny zobowiązuje nas do uznania, że musimy mieć do czynienia także z liczbami niewymiernymi. Albowiem funkcja ta przyjmuje wartości z przedziału [0, 1] liczb rzeczywistych.

Wśród liczb rzeczywistych są niewymierne obliczalne i niewymierne nieobliczalne. Czy w realnych ludzkich przeżyciach oszacowanie szansy lub ryzyka przybiera istotnie wartości niewymierne, czy nawet nieobliczalne, tego nie da się ustalić bez osobnych badań. Mamy jednak powód sądzić, że nie byłaby to hipoteza fantastyczna. Wiemy bowiem, że pewne rozumowania dotyczące liczb są rezultatem procesów myślowych nie mających cechy algorytmiczności czyli obliczalności; takie jest słynne rozumowanie Gödla prowadzące do uznania za prawdziwe pewnych zdań nierozstrzygalnych algorytmicznie w arytmetyce. Z tego to faktu Roger Penrose czerpie przesłanki do tezy o istnieniu nieobliczalnych procesów neuronowych. Fakt ten nie przesądza, czy coś podobnego zachodzi także w rozumowaniach operujących prawdopodobieństwem w kontekście procesów decyzyjnych, ale uchyla argumentację na rzecz niemożliwości takiego stanu rzeczy.

Samo istnienie takiej możliwości stanowi wyzwanie dla symulacji cyfrowych posługujących się modelem teorii gier. Wyzwanie bierze się stąd, że jeśli decydenci przeżywają stany szacowania prawdopodobieństwa charakteryzowane liczbami niewymiernymi, to symulacja tych stanów wymaga ustalenia, jaki stopień dokładności, wyrażony liczbą uwzględnionych miejsc po przecinku, jest potrzebny dla wiarogodnych przewidywań. Teoria decyzji ma tę wielką zasługę, że dostarczyła pojęć i założeń do postawienia problemu. A znalezienie odpowiedzi, to już zadanie dla innej teorii, na którą wszyscy czekamy.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 License.